Infatti il bello è capire come poi portare tutto online senza usare Azure.

Ma il "bello" visto che fa quasi tutto in automatico, sarebbe fare il classico Publish ti crea tutto e tu lo porti su qualsiuasi hosting, ma da quanto ho capito è molto più articolato.

Credo ci sia un po' di confusione sull'argomento: provo a chiarire i dubbi.
Aspire è un developer tool, quindi si interfaccia con il dev e il suo ambiente locale, con plugin riesce anche ad arrivare al mondo esterno, dove le applicazioni verranno rilasciate (per facilità immaginiamo sia Azure).

Tramite la Azure Developer CLI, Aspire esegue dei comandi che pubblicano l'applicazione, quello che noi ora facciamo con 'tasto destro sul progetto e pubblica'. Ma anche li il discorso è quasi superfluo: in un ambiente gestito dovrebbero essere le pipeline o i workflow a gestire il rilascio in vari ambienti.

Riguardo docker il discorso non varia: l'immagine va pubblicata sul registry. In questo modo chiunque la vorrà utilizzare potrà effettuare un pull, ma è indipendente da Aspire.