ciao,
in questi casi ti può aiutare molto la documentazione, che si trova qui:
http://www.mediawiki.org/wiki/API:Main_page

C'è anche un ambiente di simulazione (la Sandbox), in cui puoi sperimentare tutti i vari tipi di azione che puoi compiere con la API. Ti servirà a farti un'idea su cosa ti è permesso fare.
http://www.mediawiki.org/wiki/Special:ApiSandbox

La Sandbox è molto utile perché, dopo aver composto un comando in maniera visuale, ti mostrerà il relativo Request URL, ovvero l'indirizzo a cui dovrai inviare una richiesta dalla tua applicazione, se vuoi eseguire quello stesso comando.

Ora possiamo parlare del come inviare una richiesta ad un indirizzo. Il framework .NET ti mette a disposizione delle classi, come WebClient o il più recente HttpClient.

Oppure puoi usare RestSharp, un client che si scarica come pacchetto aggiuntivo e che offre delle funzionalità avanzate. Trovi degli esempi già nella sua homepage.
http://restsharp.org/


ciao,
Moreno