Il fatto di scrivere la connection string nel web.config può andare bene (potresti, in alternativa, usare un tuo file .config, da usare per memorizzare tutte le opzioni che ti servono).

A questo punto puoi realizzare una web form di base da utilizzare per realizzare tutte le altre.
Sostanzialmente crei una web form vuota e inserisci una proprietà (o funzione, pubblica che ti restituisce la connection string:

Public Class MyPageBase
inherits Page

...

Public Property Function GetConnectionString() As String
' Leggi la connection string dal web.config
Return MyConnectionString
End Sub
End Class ' MyPageBase

A questo punto quando crei una web form non dovrai fare altro che ereditare da MyPageBase in modo tale da avere a disposizione tutte le funzioni che ti servono definite nella pagina base:

Public Class DefaultPage
inherits MyPageBase

Private Sub Form_Load(....)
Response.Write("ConnectionString = " & Me.GetConnectionString())
End Sub
End Class

In questo modo se dovessi cambiare la gestione della connection string devi solo modificare la pagina base MyPageBase.
Naturalmente puoi migliorare la funzione GetConnectionString() ad esempio memorizzando la stringa in cache anzichè caricarla tutte le volte dal web.config.

Ciao.