Ciao,
questo capita perchè immetti il testo da modificare nella proprietà value della textbox, vediamo come:

<input type="textbox" name="campo" value="ciao">

quando il testo non ha virgolette, come CIAO, non esistono accorgimenti da prendere. Ma quando voglio modificare del testo come: lo chiamavano "pippo", allora vediamo che succede:

<input type="textbox" name="campo" value="lo chiamavano "pippo"">

value si ferma nonappena incontra la prima virgoletta, e allora il valore del campo sarà solamente: lo chiamavano
Quello che devi fare è un semplice replace:

<input type="textbox" name="campo" value="<%=Replace(rs("testo"),"""","&quot;")%>">

Così dovrebbe andare...