impedire votazioni multiple con questo sistema è impossibile. Basta andare nella cartella in cui il cookie è stato creato, cancellarlo e votare di nuovo.
Per avere una votazione più affidabile dovresti permettere il voto solamente agli utenti registrati e scrivere dell'avvenuta votazione su un campo del db.

Tornando ai cookies, non puoi stabilire in che cartella devono essere creati, è una funzionalità del browser ed è lui che la gestisce. Una cosa che puoi fare è impostare l'expire a un anno di distanza, così che se l'utente non va fisicamente a cancellare il cookie questo rimarrà attivo.

Nel link che hai postato, l'expire è definito in questo modo:
Response.Cookies("miosito").Expires=#January 1, 2000#

ma tu puoi renderlo "dinamico" così:
Response.Cookies("miosito").Expires=DateAdd("d",365,Date())

Questo imposterà la scadenza del cookie dopo un anno all'avvenuta votazione.